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椭圆弦长公式推导过程

2022-01-15 23:51 浏览:

椭圆弦长公式推导过程

弦长公式 
椭圆弦长公式是一学公式,关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线y=kx+b曲线方程,化为关于x(或关于y)的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4·X1·X2]求出弦长。
设而不求的思想方法对于求直曲线相交弦长是十分有效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
推导
设直线y=kx+b
代入椭圆的方程可得:x²/a²+ (kx+b)²/b²=1,
设两交点为A、B,点A为(x1,y1),点B为(x2,y2)
则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]
把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,
则有:
AB=√ [(x1-x2)²+( kx1-kx2)²
=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=│x1-x2│ √ (1+k²) 同理可以证明:弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]
弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 
其中k线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点.

假设直线为:y=kx+b
椭圆的方程可得:x^2/a^2 + (kx+b)^2/b^2=1,
设两交点为A、B,点A为(x1.y1),点B为(X2.Y2)
则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^
把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,
则有:
AB=√(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2
=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2
=√(1+k^2)*│x1-x2│
同理可以证明:弦长=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]. 虽然全长公式推导的过程就是这个过程还经过一阵的痛。


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